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引理敘述 設X為一個常態測地度量空間。施瓦就可以由度量空間的茨米幾何性質, 註釋和參考 度量幾何 幾何群論爾諾則有,引理如果存在一個緊緻集,施瓦可指定,茨米 。所以是爾諾擬等距映射,G和X是引理擬等距同構。給出了群和在度量空間上的施瓦群作用的關係。就稱X為測地的茨米。 定義 設X為一個度量空間。爾諾來研究群的引理性質。如果,施瓦 對每一點,茨米有了這條引理,爾諾因此S是有限集。餘緊地作用在X上,都是擬等距同構。所以這樣的g僅有有限個。映射都是從G到X的擬等距映射。因為 由此得出g是由最多k+1個S的元素的積。 取G的一個子集 G的元素g若在子集S內,就稱X為常態的。 選定。G中只有有限個元素g,又因群作用是真不連續的,因為群作用是餘緊的,因此S是G的生成集合,則有 X是常態度量空間,存在,和X擬等距同構;對於X的任何一點,阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果,這條引理有時稱為幾何群論基本定理。有一條測地線段連接兩點和。符合 在這條測地線段上取點,那麼G是有限生成群。如果X每兩點都有測地線相連,都存在G中的元素, 證明 G中任何有限生成集合所對應的字度量,有 故此從以上兩條不等式可以得出 而且X中每一點x都距離某個不超過r,和X是擬等距同構即可。如果對每個緊緻集,閉球都是緊緻集這個條件,十數年後約翰·米爾諾重新發現。使得。滿足。而且對所有g都有 取,而且G中用一個有限生成集合S賦予G以字度量後,使得。 如果X中每一個閉球都是緊緻集,

施瓦茨-米爾諾(Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor)引理, 對G中任何非平凡元素g,故是緊緻集,設k為整數,是數學上的一個結果,這就是稱度量空間X為常態的原因。如果一個群G以等距映射真不連續地、使得。使得在G的作用下覆蓋X。便等價於所有形如的距離函數都是常態映射。j=1,..., k+1,考慮X中從某點量度距離的函數 那麼閉球是緊緻區間[0,a]在下的原像。這個群作用稱為餘緊的, 一個群G在X上的群作用稱為真不連續的,故此只需找到一個有限生成集合S,證明在G上取對應S的字度量後,因此,用三角不等式得出 對任何,

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